Hace poco, hablando con amigos de quinielas escuché algo parecido a lo siguiente: “La semana pasada hubo en la quiniela 25 acertantes de 15, y era bien rara (Real Madrid y Barcelona perdiendo y tal…) lo mismo hay una misma persona que ha echado 20 veces la misma columna… se habrá hinchado." Vale, el comentario está apañado... pero venía a expresar algo asi. Vamos a pensar la cuestión, que es sencilla pero no evidente.
¿Qué opinas así a botepronto? Tenemos una premonición para la quiniela, una columna en la que, por nuestros conocimientos futbolísticos o por que nos lo ha dicho la bruja Lola, tenemos fe en que será ganadora. ¿Debemos realizar muchas veces esa apuesta? La cuestión no es cómo jugar mejor una cierta cantidad de dinero (toda una ciencia supongo), sino simplemente cuestionarnos por diversión y sin ánimo de descubrir la sopa de ajo, hasta qué punto supondría mayores ingresos apostar a la misma columna muchas veces.
Básicamente se me ocurren estas líneas de pensamiento:
- Claro, cuantas más de las apuestas ganadores sean mías, más dinero me llevaré.
- Bueno, cuantas más apuestas ganadoras sean mías mejor, sí, pero por otra parte yo mismo estoy haciendo que a cada boleto acertante le corresponda menos dinero al tener que dividir el premio entre un número mayor… poco más voy a ganar.
- Depende muchísimo del número total de acertantes, así que... pues... ejem...
Está claro que esto último es la clave, así que tratemos de ver cómo influye el número de acertantes en nuestro premio. Para empezar supongamos que acertamos los 15 resultados, por supuesto XD.
Supongamos que hay n acertantes de 15 resultados en total, y que les corresponde un premio a repartir de p euros (fijo este último, ya que depende de la recaudación, no del número de acertantes).
Si realizamos una sólo apuesta: de los n acertantes, uno corresponde a nuestra apuesta, así que nos corresponden $\frac{1}{n}p$ euros de premio.
Si hemos realizado por ejemplo 20 apuestas: habrá 19 acertantes más que antes (la que echamos seguro y 19 más) y 20 son apuestas nuestras, así que nos corresponden $\frac{20}{n+19}p$ euros de premio. En general, si hacemos a apuestas el premio sería de $\frac{a}{n+(a-1)}p$ euros.
Veamos gráficamente la situación con un applet de Geogebra, donde puedes ver, la fracción del premio p que nos correspondería en cada caso (o lo que es lo mismo, lo que nos correspondería de cada euro de premio). Puedes variar con la barra deslizadora el número de apuestas que realizamos a la columna. Si marcas la casilla Mostrar diferencia puedes ver la diferencia entre ambas cantidades.
Está claro viendo la gráfica que cuantos más acertantes haya, mejor le va a la estrategia de realizar varias apuestas… salvo que haya demasiados, en cuyo caso nos corresponderá una cantidad minúscula y mejor haber gastado poco ¿Coincide esto con lo que habías pensado en un principio?
Si activas la opción de Mostrar diferencia podemos observar algo: El punto M muestra el número de acertantes que debe haber para que esta diferencia sea máxima, y resulta ser de $\sqrt{a}+1$ (se halla fácilmente derivando la diferencia de funciones e igualando a 0). Para el caso de 20 apuestas sería de 5.47, donde está incluido un acierto nuestro, es decir, la estrategia de realizar 20 apuestas tendría máxima eficiencia frente a la de realizar 1 si hubiera entre 4 o 5 acertantes más aparte de nosotros.
No confundamos todo esto… si supiéramos seguro por la razón que fuera la apuesta ganadora, deberíamos realizar esta apuesta cuantas más veces mejor; lo único que hemos hecho es ver, para cada caso, dependiendo del número de acertantes, hasta qué punto es buena la idea de realizar varias apuestas iguales en lugar de una.
Nota para usuarios de Firefox: LaTeX (vía MathJax) funciona cuando le da la gana si convive en el mismo post con un applet de Geogebra... no sé si son cosas de Blogger o que hago algo mal, el caso es que el problema parece que sólo ocurre con el navegador Firefox. Así que si tienes problemas al ver las fórmulas actualiza la página y quizá haya suerte.
Se agradece cualquier ayuda con el asunto.
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