martes, 24 de abril de 2012

Paseos geodésicos



Imagen tomada de deviantart.com


Vamos con la segunda entrada sobre geometrías no euclídeas con Cinderella. En esta entrada hablamos de la geometría hiperbólica de Bolyai y Lobachevski; ahora es el turno de la geometría elíptica de Riemann, que fue un matemático alemán del siglo XIX discípulo de Gauss, cosa esta última suficiente para esperarnos cualquier cosa de él.









De igual forma que la hiperbólica, la geometría elíptica surge al sustituir el quinto postulado de Euclides, el de las paralelas, por otro distinto. Recordamos que el quinto postulado de Euclides se puede formular así:

“Dada una recta y un punto exterior a ella, se puede trazar una y sólo una recta paralela a la dada que pase por dicho punto”

Pues bien, Riemann, pensó que esto se cumplía en el plano solamente por las características de la métrica euclídea, es decir la forma habitual para nosotros de medir la distancia entre dos objetos; si cambiamos dicha métrica el postulado de las paralelas puede que se cumpla o pueda que no. Reinterpretó algunos de los postulados de Euclides y acabó por sustituir el quinto por este otro:

“Todo par de rectas se cortan”

Ahí queda eso. El modelo ideal para poder asomarnos a esta forma de entender la geometría será ahora la esfera, que a diferencia del disco de Poincaré para la geometría hiperbólica, será bastante más asimilable para nosotros por su analogía con la Tierra. En el siguiente applet puedes jugar con dos rectas en el marco de esta geometría elíptica.

habilite Java para una constructión intereactiva (con Cinderella).

¿Cómo debe ser “un segmento” en una cierta geometría distinta a la habitual euclídea? Será el camino más corto entre dos puntos que no se sale de la superficie, y recibirá el nombre de geodésica. En el caso de una esfera, esta geodésica entre dos puntos será la intersección entre la esfera y el plano que pasa por dichos puntos y el centro de la esfera.

Imagen tomada de alasdeplomo.com




Este hecho es algo que los pilotos aéreos conocen muy bien. En el caso concreto de la Tierra, esta línea recibe el nombre de ortodroma. Aquí puedes ver la geodésica entre Zaragoza y Toulouse.

Imagen tomada de alasdeplomo.com

En el siguiente enlace puedes obtener la geodésica entre cualquier par de puntos de la Tierra, con posibilidad de incluir puntos intermedios, usando la tecnología de Google maps. Ten en cuenta que lo que ves no deja de ser un mapa plano, en un globo terráqueo si quedaría patente que es el camino más corto. Muy recomendable.


En este applet de Cinderella puedes manipular un segmento y comprobar qué ocurre en esta geometría con los ángulos de cualquier triángulo… sí, su suma es siempre superior a 180º.

habilite Java para una constructión intereactiva (con Cinderella).

La siguiente imagen ilustra muy bien cómo “nuestra” geometría euclídea es un caso límite de la elíptica, y cómo localmente, vienen a parecerse.

Imagen tomada de Wikipedia

Te invito a que pienses (puedes ayudarte del ultimo applet de la entrada acerca de la geometria hiperbólica), por qué la geometría de Lobachevski y Bolyai se llama hiperbólica, la de Riemann se llama elíptica y la de toda la vida, la euclídea, recibe también el nombre de geometría parabólica.

Aquí entran conceptos como el de curvatura de un espacio que escapan a este post, pero conociendo algo de cónicas podemos intentar asomarnos un poco al asunto.

Observa la siguiente imagen:


Imagen tomada de Wikipedia

Imagínate que dibujamos dos paralelas (figura central) en una “hoja de goma” ¿cómo deberíamos estirarla para conseguir las otras dos situaciones?

Fuentes y reseñas:
Una nueva manera de ver el mundo, de María Isabel Binimelis Bassa.
Geometría elíptica, Wikipedia
Geometría no euclideana, Wikipedia.
Cindirella es un estupendo programa de geometría dinámica.  Es de pago, pero su versión gratuita incluye un gran número de funcionalidades. Todo lo expuesto aquí está hecho con la versión gratuita.
GeometríaDinámica.cl, sería injusto no incluir una reseña de este excelente blog, por el que conocí el potencial de Cinderella.

Esta entrada participa en la edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es en esta ocasión DesEquiLIBROS.

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Comenta, comenta... Puedes usar LaTeX entre signos de $.