El problema de Regiomontano

La Época Heroica de la matemática griega es una etapa en la matemática de la antigua Grecia durante el siglo V a.C. que recibe ese nombre por los increíbles progresos que se realizaron contando con muy pocas herramientas para ello. Algo parecido ocurre con Regiomontano y el problema que es conocido por su nombre.

Regiomantano fue un matemático y astrónomo alemán del siglo XV considerado uno de los fundadores de la trigonometría, que resolvió este problema de una forma realmente ingeniosa, si bien ahora sería un problema sencillo usando algo de cálculo. El problema es el siguiente:

Supongamos que vemos una barra de metal colgada verticalmente desde el techo. ¿A qué distancia de la barra habrá que situarse para verla lo mas grande posible?

En este applet podemos ver un modelo del problema. Puedes mover al observador por el suelo y modificar la longitud de la barra moviendo A y B. También puedes hacer que se muestre una representación (con cambio de origen y escala para verla mejor) del ángulo de observación a lo largo del recorrido del observador.
El problema es equivalente a preguntarnos a qué distancia de la barra el ángulo de observación que abarca la barra es máximo.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com



Resolvamos "modernamente" este problema. Supongamos la barra situada sobre el eje de ordenadas de unos ejes de coordenadas, donde el eje de abcisas será nuestro suelo. l será la longitud de la barra, h la altura a la que se encuentra su parte inferior, y $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ los ángulos indicados en la figura. Nos preguntamos qué valor de x hace máximo $\alpha$

Tenemos que $tan(\beta)=\frac{h}{x}$, así que $\beta=arctan \frac{h}{x}$
De la misma forma $tan(\gamma)=\frac{l+h}{x}$, así que $\gamma=arctan \frac{l+h}{x}$

Como $\alpha=\gamma-\beta$ podemos expresar el ángulo $\alpha$ como la siguiente función de x (distancia del observador a la vertical de la barra):
$$f(x)=arctan \frac{l+h}{x}-arctan \frac{h}{x}$$
Busquemos para qué valor de x tiene un extremo esta función. Derivamos respecto de x:
$$f'(x)=\frac{h}{x^2+h^2}-\frac{l+h}{x^2+(l+h)^2}$$
Igualamos a 0 esta expresión y resolvemos la ecuación que resulta:
$$\begin{align}
& \frac{h}{x^2+h^2}=\frac{l+h}{x^2+(l+h)^2} \\
& h(x^2+(l+h)^2)=(l+h)(x^2+h^2) \\
& hx^2+hl^2+2h^2l+h^3=h^2l+h^3+lx^2+x^2h \\
& hl^2+h^2l=x^2l \\
& h(l+h)=x^2 \\
& x=\sqrt{h(l+h)} \\
\end{align}$$

y esta será la distancia que maximiza el ángulo: $\sqrt{h(l+h)}$. ¿Cómo resolvió Regiomontano el problema en el siglo XV? Pues de una forma tremendamente ingeniosa, que veremos en otra entrada.